Опубликовано

Пятилепестковые цветы математики: как Пенроуз научил нас создавать новые бесконечные узоры

Учёные открыли новый способ заполнения плоскости квазипериодическими узорами, который сохраняет красоту классических мозаик Пенроуза, но создаёт совершенно иную картину.

Физика и космос Математическая физика
Phoenix 1.0
Автор: Профессор Михаил Ковалёв Время чтения: 4 – 6 минут

Логичность

95%

Эмоциональность

12%

Уважение к истории науки

91%

Применимость теории

78%
Оригинальное название: A novel variant of rhombic Penrose tiling
Дата публикации статьи: 20 мая 2025

Когда Роджер Пенроуз в 1970-х годах впервые показал миру свои удивительные мозаики, математическое сообщество было потрясено. Представьте себе: можно заполнить бесконечную плоскость всего двумя типами плиток так, что узор никогда не повторится, но при этом будет обладать строгой внутренней логикой. Это было похоже на открытие нового закона природы – закона, который позже помог нам понять структуру квазикристаллов и принёс Дану Шехтману Нобелевскую премию.

Сегодня я хочу рассказать вам о том, как эта история получила неожиданное продолжение. Группа исследователей создала новую разновидность мозаики Пенроуза, которая использует те же самые «кирпичики», но складывает из них совершенно иную картину.

От Эйнштейна к геометрии: когда математика становится искусством

Помните, как Эйнштейн говорил, что «Бог не играет в кости»? В случае с мозаиками Пенроуза кажется, что Вселенная действительно предпочитает порядок хаосу, но порядок особого рода – такой, который никогда не повторяется, но всегда остаётся гармоничным.

Классическая ромбическая мозаика Пенроуза P3 строится из двух типов ромбов: «толстых» и «тонких». Эти фигуры соединяются по строгим правилам, создавая узор с пятикратной симметрией – той самой симметрией, которая считалась невозможной в кристаллографии до открытия квазикристаллов.

Новая мозаика P4 использует те же самые ромбы, но располагает их по-другому. Если в P3 мы видим относительно простые паттерны, то P4 создаёт нечто более сложное и изысканное – структуру, напоминающую сад, усыпанный пятилепестковыми цветами.

Золотое сечение как дирижёр бесконечного оркестра

В основе всех мозаик Пенроуза лежит золотое сечение – число φ ≈ 1,618, которое древние греки называли «божественной пропорцией». Это число управляет пропорциями наших ромбов, определяет, как они могут соединяться друг с другом, и даже диктует, с какой частотой встречается каждый тип плитки в бесконечном узоре.

В P4 золотое сечение проявляется ещё более изощрённо. Представьте, что вы берёте всю мозаику и увеличиваете её в φ² раз (примерно в 2,618 раза). Удивительно, но получившийся узор можно разложить на те же самые исходные элементы! Это свойство называется «инфляционной симметрией», и оно означает, что мозаика содержит в себе уменьшенные копии самой себя на всех масштабах.

Вершины-аристократы и их тайные собрания

Один из самых очаровательных аспектов новой мозаики – это её «вершины». В каждой точке, где сходятся несколько ромбов, образуется характерная конфигурация. В P3 таких конфигураций всего пять типов, а в P4 – семь.

Особенно интересны вершины типа S1 – они образуют центры тех самых пятилепестковых цветов, которые делают P4 такой узнаваемой. Эти вершины встречаются значительно чаще, чем их «родственники» в P3, что объясняет высокую плотность цветочных мотивов.

Каждый тип вершин подчиняется своим законам. Математически это описывается через «области принятия» – геометрические фигуры в абстрактном пространстве, которые определяют, где может появиться каждая вершина. Это напоминает мне карту звёздного неба, где каждое созвездие имеет свою область влияния.

Складчатые линии: когда геометрия учится у оригами

Одно из самых элегантных нововведений P4 – это система «складчатых линий». В классической мозаике P3 существуют прямые линии Аммана, которые пронизывают весь узор, создавая невидимую сетку координат. В P4 эта система усложняется: часть линий остаётся прямой, но часть «складывается», проходя через центры тонких ромбов.

Эти складчатые линии взаимодействуют с прямыми под углом 72° – тем самым углом, который связан с пятикратной симметрией. В точках их пересечения всегда образуется ромб определённого типа, что создаёт дополнительный уровень порядка в кажущемся хаосе.

Гиперуниформность: когда хаос становится более упорядоченным

Представьте, что вы смотрите на звёздное небо в телескоп с разным увеличением. На малых масштабах звёзды кажутся расположенными случайно, но при увеличении масштаба их распределение становится всё более равномерным. Это свойство называется гиперуниформностью, и оно характерно для многих физических систем – от расположения фоторецепторов в глазу до распределения материи во Вселенной.

Мозаика P4 обладает ещё более высокой степенью гиперуниформности, чем P3. Это означает, что при увеличении масштаба рассмотрения её элементы распределены более равномерно. Математически это выражается в том, что флуктуации плотности растут медленнее, чем в обычных случайных системах.

Мосты между мирами: от Пенроуза к квазикристаллам

История науки полна примеров того, как абстрактные математические концепции находят неожиданные применения в физике. Когда Пенроуз создавал свои мозаики, он вряд ли предполагал, что через несколько лет Дан Шехтман обнаружит в природе кристаллы с точно такой же пятикратной симметрией.

Новая мозаика P4 расширяет наше понимание того, как может быть организована материя. Её сложная структура с множественными уровнями симметрии и высокой степенью гиперуниформности может подсказать новые пути синтеза материалов с уникальными свойствами.

Красота в математических отношениях

Что поражает меня больше всего в P4 – это то, как она демонстрирует глубокую связь между математической красотой и физической реальностью. Пятилепестковые цветы, рассыпанные по бесконечной плоскости, складчатые линии, создающие невидимую архитектуру, золотое сечение, дирижирующее всем этим оркестром форм – всё это не просто абстрактные построения, а отражение фундаментальных принципов, по которым устроен наш мир.

Возможно, когда-нибудь мы научимся читать эти математические узоры как звёздные карты, которые укажут нам путь к пониманию ещё более глубоких тайн Вселенной. А пока что мы можем просто восхищаться тем, как из простейших правил рождается бесконечная сложность и красота.

В конце концов, разве не в этом заключается главная магия науки – в способности находить порядок там, где его, казалось бы, не должно быть, и красоту там, где её никто не ожидал увидеть?

Авторы оригинальной статьи: Nobuhisa Fujita, Komajiro Niizeki
Предыдущая статья SEED: Как очистить голос от шума без лишних хлопот Следующая статья Как один ИИ научился думать, видеть и рисовать одновременно

НейроНаука

Вам может быть интересно

Перейти к статьям

Когда Вселенная зажигала свет: история космической реионизации

Новые данные телескопа JWST раскрывают, как галактики превращали тёмную Вселенную в прозрачную, ионизируя водород «изнутри наружу».

Физика и космос Астрофизика

Квантовый дирижёр: как флаксониум управляет симфонией света и материи

Флаксониум открывает новые возможности управления квантовой информацией в резонаторах, преодолевая ограничения традиционных подходов.

Физика и космос Квантовая физика

Квантовый апгрейд для лазеров: как научить свет быть запутанным

Физики научились создавать квантово-запутанное ультрафиолетовое излучение, объединив обычные лазеры с квантовыми полями – это может стать основой для квантовых компьютеров нового поколения.

Физика и космос Квантовая физика

Хотите глубже погрузиться в мир
нейротворчества?

Первыми узнавайте о новых книгах, статьях и экспериментах с ИИ в нашем Telegram-канале!

Подписаться