Представьте, что вы ударили по большому колоколу и отошли в сторону. Колокол звенит – сначала громко, потом всё тише и тише, пока звук не растворится в тишине. Этот затухающий звук несёт в себе информацию о форме колокола, о металле, из которого он отлит, о его размере. Ничего лишнего – только чистая физическая сигнатура объекта.
Чёрные дыры ведут себя похожим образом. Когда их «тревожат» – например, когда рядом проходит гравитационная волна, падает вещество или случается столкновение с другим компактным объектом – они начинают «звенеть». И этот звон тоже затухает. Тоже несёт в себе информацию. Тоже является чистой физической сигнатурой – только не металлического колокола, а искривлённого пространства-времени.
Эти характеристические колебания называются квазинормальными модами. И именно о них – а точнее, о новом способе их вычисления – пойдёт речь в этой статье.
Обычный колокол после удара колеблется с определёнными частотами – они называются нормальными модами. Эти частоты зависят только от физических характеристик самого колокола и не зависят от того, как именно по нему ударили.
Квазинормальные моды чёрной дыры устроены похожим образом, но с одной существенной разницей: они затухают. Слово «квази» здесь означает именно это – «почти нормальные», но не совсем. Колокол в вакууме мог бы звенеть вечно (в идеальном мире). Чёрная дыра – нет. Она излучает возмущение в окружающее пространство, и колебание постепенно гаснет.
Математически это выражается в том, что частота квазинормальной моды является комплексным числом: действительная часть описывает собственно частоту колебания, а мнимая часть – скорость затухания. Оба числа целиком определяются тремя параметрами чёрной дыры: её массой, зарядом и угловым моментом (скоростью вращения). Больше ничем.
Это делает квазинормальные моды исключительно ценным инструментом. Если мы умеем их вычислять теоретически и умеем их измерять экспериментально – например, с помощью гравитационно-волновых детекторов, – то мы можем по «звону» определить параметры чёрной дыры. Именно это и происходило в 2015–2017 годах, когда коллаборация LIGO впервые зафиксировала гравитационные волны от слияния чёрных дыр.
В этой статье речь идёт об особом типе чёрных дыр – заряженных и невращающихся. В теории такие объекты описываются решением Рейсснера–Нордстрёма, открытым независимо Хансом Рейсснером в 1916 году и Гуннаром Нордстрёмом в 1918 году.
Обычная заряженная чёрная дыра имеет два горизонта: внешний – горизонт событий, за которым ничто не может выбраться наружу, – и внутренний, называемый горизонтом Коши. Эти два горизонта разделены расстоянием, которое зависит от соотношения массы и заряда объекта.
Теперь представьте, что вы начинаете увеличивать заряд чёрной дыры, сохраняя её массу постоянной. Два горизонта начинают сближаться. В какой-то момент они совпадают – и вот мы оказываемся в так называемом экстремальном пределе. Это состояние, при котором заряд чёрной дыры в геометрических единицах в точности равен её массе: Q = M.
Экстремальная чёрная дыра – это не просто математическая абстракция. Это граничный случай, который обладает замечательными и весьма странными свойствами. Одно из самых поразительных: её температура Хокинга в точности равна нулю. То есть такая чёрная дыра не испаряется – по крайней мере, в рамках известной нам полуклассической физики. Она находится в своеобразном термодинамическом «замороженном» состоянии.
Кроме того, геометрия пространства-времени вблизи горизонта экстремальной чёрной дыры приобретает особую симметрию, которой нет у обычных заряженных или незаряженных чёрных дыр. Это делает её особенно привлекательным объектом для теоретических исследований – как своеобразный «чистый эксперимент», в котором многие усложняющие факторы оказываются устранены или предельно упрощены.
Но именно эта красивая симметрия создаёт вычислительные трудности. Уравнения, описывающие колебания вокруг экстремальной чёрной дыры, становятся жёстче и сложнее для стандартных методов анализа.
Когда физики хотят описать, как скалярное поле – например, гипотетическая безмассовая частица – ведёт себя вблизи чёрной дыры, они записывают специальное волновое уравнение. Это уравнение чем-то напоминает уравнение для звуковых волн в воздухе, только вместо воздуха – искривлённое пространство-время, а вместо давления – значение поля.
После ряда математических преобразований это уравнение принимает стандартную форму, напоминающую уравнение Шрёдингера из квантовой механики:
В левой части стоит вторая производная волновой функции по так называемой «черепашьей координате» (это особая координата, которая «растягивает» пространство вблизи горизонта так, чтобы горизонт оказался на минус бесконечности). В правой части – разность квадрата частоты и эффективного потенциала, который описывает, как пространство-время чёрной дыры влияет на распространение волны.
Для экстремальной чёрной дыры Рейсснера–Нордстрёма этот потенциал приобретает очень специфическую форму, и уравнение превращается в так называемое двойное конфлюентное уравнение Хёна. Это один из самых сложных классов дифференциальных уравнений в математической физике.
Само слово «конфлюентное» означает «слиянное»: в отличие от стандартного уравнения Хёна, где особые точки (места, где уравнение ведёт себя нестандартно) находятся в конкретных местах числовой прямой, в конфлюентном варианте некоторые из них «сливаются» и уходят на бесконечность. Это существенно затрудняет поиск точных решений.
Именно здесь начинается самое интересное – потому что авторы исследования нашли совершенно неожиданный способ справиться с этим уравнением.
В 1994 году физики Натан Зайберг и Эдвард Виттен совершили нечто весьма впечатляющее: они точно решили определённый класс квантовых теорий поля, которые до этого поддавались лишь приближённым вычислениям. Их метод опирался на глубокую связь между квантовыми теориями поля и геометрией особых математических объектов – так называемых алгебраических кривых.
Идея, на первый взгляд, кажется совершенно не связанной с чёрными дырами. Квантовые теории поля изучают поведение элементарных частиц при высоких энергиях. Чёрные дыры – это макроскопические объекты, описываемые общей теорией относительности. Что у них может быть общего?
Ответ – математика. Точнее, тот факт, что совершенно разные физические системы могут описываться одинаковыми уравнениями. Это один из самых удивительных и плодотворных принципов теоретической физики: если вы научились решать уравнение в одном контексте, это решение работает и в другом.
Авторы рассматриваемого исследования показали, что двойное конфлюентное уравнение Хёна, возникающее при описании колебаний вблизи экстремальной чёрной дыры Рейсснера–Нордстрёма, математически эквивалентно уравнению, которое описывает квантовую кривую Зайберга–Виттена в так называемом пределе Некрасова–Шаташвили. Это предел, введённый Никитой Некрасовым и Самсоном Шаташвили в 2009 году, в котором квантовая теория поля становится особенно тесно связанной с интегрируемыми системами – классом задач, для которых существуют точные аналитические решения.
Говоря проще: уравнение для «звона» чёрной дыры и уравнение для спектра энергий в определённой квантовой теории поля – это одно и то же уравнение, записанное разными словами. А значит, мощный математический аппарат, разработанный для одной задачи, можно напрямую применить к другой.
Обычно квазинормальные моды вычисляют одним из двух способов: численно (то есть на компьютере, методом последовательных приближений) или аналитически, но с использованием теории возмущений – то есть разбивая задачу на «маленькое отклонение от чего-то известного» и считая поправки серией.
Оба подхода имеют ограничения. Численные методы работают хорошо, но не дают понимания – вы получаете число, но не формулу, и не можете проследить, как это число зависит от параметров задачи. Теория возмущений даёт формулы, но только тогда, когда «малый параметр» действительно мал – а в экстремальном пределе это не всегда выполняется.
Метод Зайберга–Виттена–Некрасова–Шаташвили принципиально иной: он непертурбативен. Это означает, что он не предполагает никакого «малого параметра» и не строит разложение в ряд. Он даёт точные аналитические выражения напрямую, без каких-либо приближений.
Именно это позволило авторам вычислить частоты квазинормальных мод экстремальной чёрной дыры Рейсснера–Нордстрёма аналитически – и получить результаты, которые прекрасно согласуются с известными численными данными для безмассовых полей.
Но исследование не ограничивается безмассовым случаем. Авторы также рассматривают ситуацию, когда скалярное поле, «зондирующее» чёрную дыру, имеет массу.
Здесь обнаруживается интересный эффект: в экстремальном пределе массивные поля демонстрируют так называемое квазирезонансное поведение. Это означает, что мнимая часть частоты квазинормальной моды становится очень маленькой – то есть колебания затухают чрезвычайно медленно. Система «зависает» в колебательном режиме на очень долгое время, прежде чем наконец успокоиться.
Чтобы сделать это более наглядным: представьте маятник в очень вязкой жидкости. Обычно такой маятник быстро останавливается. Но если жидкость настроена особым образом – маятник может совершать почти незатухающие колебания очень долго, прежде чем всё же остановиться. Именно нечто подобное происходит с массивным скалярным полем вблизи экстремальной чёрной дыры.
Физически это связано с особой геометрией пространства-времени вблизи горизонта экстремальной чёрной дыры: потенциальный барьер, отделяющий область вблизи горизонта от внешнего пространства, становится очень длинным и пологим – и волновые пакеты «застревают» в нём на долгое время.
Метод Зайберга–Виттена позволяет описать это поведение аналитически: масса скалярного поля входит в структуру квантовой кривой как дополнительный параметр, и вся картина квазирезонансов естественно следует из условия квантования.
Позвольте сделать шаг назад и взглянуть на более широкий контекст. Почему это исследование важно – не только как технический результат, но и как концептуальный?
Физика разорвана надвое. С одной стороны – общая теория относительности, описывающая гравитацию, пространство и время. С другой – квантовая теория поля, описывающая элементарные частицы и три остальных фундаментальных взаимодействия. Эти две теории чрезвычайно успешны каждая в своей области, но при попытке их объединить возникают принципиальные математические противоречия.
Квазинормальные моды чёрных дыр находятся на стыке этих двух миров: сами чёрные дыры – объекты общей теории относительности, но их «звон» при возмущении описывается уравнениями, которые математически неотличимы от уравнений квантовой теории поля. Это не случайность и не просто удобное совпадение.
Это намёк на более глубокое единство. Каждый раз, когда удаётся перебросить мост между этими двумя мирами – как это сделали авторы рассматриваемой работы, – мы получаем чуть более ясную картину того, как может выглядеть будущая единая теория.
Исторически именно такие «странные совпадения» между разными областями физики и математики указывали на структуры, которые ещё предстоит понять. Принцип соответствия Бора, дуальность волн и частиц, связь между статистической механикой и квантовой теорией поля – каждый раз, когда одна область «отражалась» в другой, это оказывалось предвестником нового понимания.
Итак, что же сделали авторы этого исследования? Они взяли одну из самых математически сложных задач общей теории относительности – вычисление квазинормальных мод экстремальной заряженной чёрной дыры – и нашли для неё неожиданный ключ: аппарат квантовой геометрии, разработанный Зайбергом и Виттеном в середине 1990-х годов и впоследствии развитый Некрасовым и Шаташвили в конце 2000-х.
Они показали, что уравнение, описывающее колебания пространства-времени вблизи этой чёрной дыры, математически эквивалентно уравнению квантовой кривой в определённой суперсимметричной калибровочной теории. И что условие квантования, возникающее в этой теории, даёт точные значения частот квазинормальных мод – причём без каких-либо приближений.
Для безмассовых полей результаты прекрасно согласуются с численными данными, накопленными за предыдущие годы исследований. Для массивных полей метод воспроизводит характерное квазирезонансное поведение, которое отличает экстремальные чёрные дыры от их «обычных» аналогов.
Но, пожалуй, самое важное здесь – не конкретные числа, а сам факт установленного соответствия. Чёрная дыра «звенит» – и этот звон описывается теми же уравнениями, что и квантовая структура пространства в суперсимметричной теории поля. Почему? Случайность? Глубокая закономерность? Намёк на нечто, чего мы пока не понимаем?
Вот что мы знаем. Вот что остаётся загадкой. И именно поэтому это важно.
